高中数学题（1+x）^3+(1+x)^4+(1+x)^5+.......+(1+x)^20展开式种含x^3项的系数？

C3 3+C4 3+C5 3+...+C20 3(打不出来，见谅)
=C4 4+C4 3+C5 3+...+C20 3
=C5 4+C5 3+...+C20 3
=C21 4=5985

（1+x）^3+(1+x)^4+(1+x)^5+.......+(1+x)^20
=((1+x)^21-1)/[(x+1)-1]-(1+x)^2-(1+x)-1
=((1+x)^21-1)/x - (1+x)^2-(1+x)-1
=C21 4
=5985

解：{(1+x)^n}(n=3,4,……,20)是公比为（1+x）的等比数列，
数列求和有S=（1+x）^3+(1+x)^4+(1+x)^5+.......+(1+x)^20
=（1+x）^3[1-（1+x）^18]/[1-（1+x）]
=[（1+x）^3-（1+x）^21]/[-x]
=（1+x）^21/x-（1+x）^3/x
则原式含x^3项的系数，即（1+x）^21/x含x^3项的系数
系数为21*20*19*18/4！=7*5*19*9=5985。